La geometría clásica, bajo la forma que le dio Euclides en sus elementos, paso durante mucho tiempo por un modelo insuperable, y aun difícilmente igualable, de teoría deductiva. Los términos propios de la teoría jamás se introducen en ella sin ser definidos; las proposiciones jamás se adelantan sin ser demostradas, a excepción de un pequeño número de entre ellas que se enuncian en primer lugar a titulo de principios: la demostración no puede, en efecto, remontarse al infinito y debe sin duda reposar sobre algunas proposiciones.
El geómetra no procede sino por vía demostrativa, no funda sus pruebas sino sobre lo que se ha establecido anteriormente, conformándose con las solas leyes de la lógica. Los griegos razonaron con toda la exactitud posible en las matemáticas y dejaron al género humano modelos del arte de demostrar. Los sabios alejandrinos, árabes y modernos se aplicaron sucesivamente a ello, pero siempre el análisis revelaba que las pretendidas demostraciones se fundaban en alguna otra suposición, que muy frecuentemente quedaba implícita: no se había hecho sino cambiar de postulado.
Se sabe como el fracaso de las demostraciones directas sugirió la idea de una demostración por el absurdo, y como a su vez el fracaso de las demostraciones por el absurdo termino pronto, por una inversión del punto de vista, en la constitución de las primeras geometrías llamadas no-euclidianas. El alcance epistemológicas de esta nuevas teorías es considerable, pues contribuyeron favorablemente a desplazar el centro de interés de la geometría especulativa, trasportándolo del contenido hacia las estructura, de la verdad extrínseca de las proposiciones aisladas hacia las coherencia interna del sistema total.
Un teorema de geometría era a la vez un informe sobre las cosas y una construcción del espíritu, una ley de física y una pieza de un sistema lógico, una verdad de hecho y una verdad de razón. La geometría teórica abandona ahora decididamente el primer elemento, que remite a la geometría aplicada.
La verdad de los teoremas se refiere a los sistemas diferentes, por otra parte los sistemas mismos, ya no son solo cuestión de verdad o falsedad, sino en el sentido lógico de la coherencia o de la contradicción interna. Los axiomas también reciben el nombre de “nociones comunes” definidos por Euclides. La separación entre los axiomas y los postulados quedo a menudo indecisa. Frecuentemente, las dos palabras mismas han sido, y son aun, tomadas indiferentemente la una por la otra: como prueba, el nombre mismo de la axiomática, que se llamaría, sin duda, más justamente una postulantica.El axioma envuelve en primer lugar la idea de una evidencia intelectual. Mientras que el postulado es una proposición sintética, cuya contradictoria, difícil o imposible de imaginar, permanece no obstante concesible, el axioma seria una proposición analítica que constituiría un absurdo negar.
Las mismas razones que valen para la demostración, valen evidentemente para la definición. Se define un término mediante otros términos, estos a su vez mediante otros, de suerte que, para evitar la regresión al infinito, es necesario sin duda detenerse en algunos términos no definidos, así como las demostraciones deben apoyarse sobre algunas proposiciones no demostradas.
Las “definiciones” iníciales de Euclides no tienen de definiciones mas que la apariencia. Se reducen a simples descripciones empíricas, comparables a las que daría un diccionario, que tuviera por objeto dirigir el espíritu hacia la noción de lo que se trata.
Euclides define la línea recta: como la que descansa igualmente sobre sus puntos. Herón la substituye por la definición siguiente, en apariencia más clara: el camino más cortó entre dos puntos. Leibniz advierte con razón que la mayor parte de los teoremas que se apoyan sobre la recta no utilizan ni una ni otra de estas dos propiedades.
La utilidad de esta exigencia lógica aparecerá tanto mejor si la definición reúne bajo un mismo término un número mayor de propiedades heterogéneas: entonces no basta que cada una sea posible, es necesario que en conjunto sean integrables.
Si se pone en primer plano la verdad del contenido, entonces la demostración y la definición llegan a ser simples medios para establecerla. El papel de la definición será hacer concebir exactamente el sentido de los términos que componen las proposiciones, y el de la demostración, hacer admitir la verdad de estas.
La definición y la demostración dependen entonces, propiamente hablando, de la retorica; su función es esencialmente psicológica: pedagógica o didáctica. Sin embargo, en la otra hipótesis, no tienen más que una función lógica: reunir todos los términos y todas las proposiciones en un conjunto sistemático.
Pedagógicamente, la buena definición, la buena demostración, es la que el alumno comprende. Para el niño, la verdadera definición de la elipse no es la que aprende de memoria, sino algo como: un circulo alargado; la buena demostración no es la que escribe en su cuaderno, es la figura que la acompaña.
La demostración vacila entre una función psicológica (determinar el asentimiento) y una función lógica (organizar las proposiciones en sistema), asimismo la definición se instala una veces en el plano del pensamiento.
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