La constitución y el desarrollo del método axiomático no interesan exclusivamente al trabajo científico sino que se proyectan también sobre problemas filosóficos cuyo alcance va ensanchándose: la filosofía de las matemáticas, la filosofía de las ciencias, la filosofía del conocimiento.
En primer lugar, la axiomática abre una de las vías posibles para resolver el problema que ha dominado, desde principios del siglo XX, toda la filosofía matemática, esto es, las bases mismas de esta ciencia.
Este problema, que hasta entonces prácticamente no había preocupado a los matemáticos, les fue impuesto en forma brusca debido a la crisis que produjo la formulación de la teoría de los conjuntos. Esta fue elaborada por G. Cantor en el último cuarto del siglo XIX. Tras afrontar numerosas resistencias la teoría de los conjuntos apareció definitivamente hacia 1900 como la base de todo el edficio matemático.
La aritmética de los números finitos, mediante la cual se reconstruyeron las demás partes de las matemáticas, podía constituirse a la vez como un caso especial y particularmente simple e intuitivo de la teoría de los conjuntos: el de los conjuntos enumerables. Y, es precisamente en este momento, cuando aparecen al interior de la teoría “antinomias” o “paradojas”, esto es, pares de teoremas contradictorios.
Para una teoría que ha dejado de soportarse en nociones y verdades intuitivas y que en consecuencia carece ya de otra garantía de su validez que la coherencia formal, la menor fisura basta para comprometerla, su lógica tiene la obligación absoluta de ser infalible.
Desde un principio las investigaciones para encontrar una solución se han comprometido en tres direcciones. El “empirismo” de Borel y Lebesgue, posteriormente prolongado y reforzado por el “intuicionismo” de Brouwer, atribuye las dificultades al manejo ciego del instrumento lógico.
La axiomática ingenua, confiada en el sentimiento de evidencia intelectual para justificar la selección de los axiomas se encontraba en un callejón sn salida. Uno de los objetivos principales de la metamatemática de Hilbert es evitar el callejón sin salida, y salir de él sustituyendo mediante el razonamiento la intuición desfalleciente.
La formalización de la axiomática requiere que pueda ser establecido, mediante la vía demostrativa y sin necesidad de apelar al sentimiento subjetivo de la evidencia, si un sistema de axiomas es congruente o no. Si esta demostración puede dárnosla favorablemente una axiomática de la teoría de los conjuntos, queda resuelto el problema del fundamento.
Las esperanzas que los “formalistas” pusieron en este método han sido, como se recuerda, frustradas en forma parcial. Especialmente, los teoremas de Gödel mostraron que la nocontradicción de los sistemas de los que se trataba no podía ser probada mediante una formalización que se mantuviera dentro de estos sistemas. Por su lado, la paradoja de Skolem contrapone a la axiomatización de la teoría de los conjuntos una dificultad esencial, pues resulta de ella que el tratamiento axiomático hace desvanecer ahí la distinción de las potencias diversas. Sin embargo, esta última restricción sólo concierne en forma directa a la teoría de los conjuntos y, por otro lado, el marco dentro del cual se encerró Hilbert, voluntariamente, permitía que fuera ensanchado un poco, sin por eso traspasar los límites que se asigna al intuicionismo, de suerte que las prohibiciones de Gödel se atenúan.
En tales condiciones Gentzen, en 1937, llegó a demostrar la nocontradicción de la teoría de los números apelando exclusivamente a un único principio exterior a la teoría, y mostrando que éste no sobrepasaba los medios que se conceden al intuicionismo. Tal resultado es muy importante ya que la nocontradicción de numerosas teorías tenía su apoyo en la aritmética, que hasta allí había sido simplemente postulada.
Pese al hecho de que el formalismo axiomático no ha resuelto definitivamente el problema del fundamento de las matemáticas, resulta que tanto para él mismo como para las reacciones que suscitó, lo ha hecho avanzar considerablemente y, por otro lado, ha disminuido en forma notable las presiones sobre las doctrinas que inicialmente se le oponían.
En la actualidad prácticamente se han desvanecido las diferencias que existían entre logicismo y axiomatismo, al punto que ambas tendencias se integran, como puede verse en algunos autores, Quine por ejemplo. La multiplicidad de las lógicas, que son tratadas en delante de acuerdo con los métodos de la axiomática formalizada, prácticamente no permiten ya dar a sus nociones de base un sentido absoluto, y el problema de saber dónde termina la lógica y comienzan las matemáticas ha perdido buena parte de su sentido.
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