Las primeras Axiomáticas.

Toda la historia de la geometría es testigo de la tendencia continua a limitar más y más sus alcances y a hacer crecer, en proporción, sus exigencias lógicas. Por citar sólo dos ejemplos famosos, resulta falso que a una línea curva continua siempre se le pudiera trazar una tangente; también puede ser cierto que una línea curva, que no tenga ninguna anchura, pueda cubrir la superficie total de un cuadrado (Peano). Pasch, en 1882, intentó lograr la axiomatización inicial de la geometría. Si bien la solución que ofreció presenta una cantidad considerable de fallas, debidas en buena parte a que el autor mantuvo la misma actitud del empirismo clásico, al menos plantea claramente cuál es el problema: “Resulta necesario para que la geometría logre transformarse en una ciencia deductiva, que el modo de extraer una consecuencia sea, en todas sus partes, independiente de la idea del concepto geométrico. Al hacer una deducción, bien puede resultar conveniente y útil razonar acerca del significado de los conceptos de la geometría más usuales, pero esto de ninguna manera es necesario cuando en la deducción se presenta una laguna y (si no es posible suprimir tal laguna alterando el razonamiento) si las proposiciones que han sido tomadas como medios de prueba resultan insuficientes. Ponemos a continuación las condiciones fundamentales que, para que se le considere verdaderamente rigurosa, debe llenar una exposición deductiva:
1) Que los términos primeros, con los cuales se propone uno definir a todos los otros, sean enunciados claramente.

2) Que las proposiciones primeras, con las cuales se propone uno demostrar todas las otras, sean enunciadas claramente.

3) Que las relaciones que se enuncien entre los términos primeros sean sólo relaciones lógicas y que se mantengan independiente dl sentido concreto que pueda darse a los términos.

4) Que sean sólo estas relaciones las que puedan intervenir en las demostraciones en forma independiente del sentido que tengan los términos (esto prohíbe, particularmente, tomar en préstamo cualquier cosa concerniente a la consideración de las figuras).

Un sistema geométrico, aparte de la lógica, da por supuesto a la aritmética, pues para definir un triángulo es necesario utilizar el tres; asimismo, para demostrar que la suma de sus ángulos es igual a dos rectos, se hace necesario admitir la validez de los teoremas aritméticos relativos a la adición. En forma general, se denominará anteriores a un sistema axiomático a todos los conocimientos del sistema así llamado. Se verá entonces que si una axiomática aparece como un sistema puramente formal, los conocimientos que necesita para constituirse son nociones entendidas en la totalidad de su sentido, así como tesis tomadas en su verdad material. Recurrir a los conocimientos anteriores, especialmente si no se expresa declaradamente, choca con el espíritu de la axiomática, que se impone como deber tratar de explicarlo todo, sin que nada quede presupuesto. Queda claro que esto se puede matizar mediante el recurso de enumerar, al iniciar una axiomática, las ciencias que se presuponen. Tal formalidad no basta en forma alguna para resolver la infinidad de problemas que emergen aquí y cuya determinación resultar fundamental para los posteriores desarrollos de la axiomática.

El aritmético y el lógico numeran sus proposiciones y teoremas, cuentan el número de sus nociones primeras. Y lo que es cierto en el caso de las nociones aritméticas con mayor razón lo es para las nociones lógicas.

Por otro lado, no siempre resulta fácil delimitar con precisión la frontera entre lo que son las nociones propias de una ciencia y las que le resultan anteriores. Podemos leer por ejemplo en un tratado de geometría: “La recta a pasa por el punto A.” La frase pasa por pertenece aparentemente al vocabulario de la geometría; pero cómo es posible evitarla al decir: “El punto A pertenece a la recta a“, y que la pertenencia de un individuo a una clase (si se considera a la línea como una clase de puntos) es una noción lógica, el término pasa por debe en este caso ser incluido entre los términos lógicos. Un poco más allá podemos leer las dos frases: “Si un punto está dado fuera de un plano”, etc., y también: “Si un punto está dado fuera de una superficie esférica“, etc.,

Existe la tendencia creciente a evitarlas de modo que se eviten las equivocaciones. Un término no puede ser indefinible del mismo modo que una proposición no puede ser indemostrable, salvo al interior de un sistema que ha sido estructurado en una forma determinada, y de manera continua pueden constituir el término de una demostración o una definición, siempre que se modifiquen adecuadamente las bases del sistema. Tengamos siempre en cuenta el ejemplo de la geometría euclidiana: no resulta imposible de ninguna forma demostrar en ella el postulado de las paralelas. De este modo, en lugar de demostrar por medio de aquella que la suma de los ángulos de un triángulo es igual a dos rectos o que a toda figura se le puede hacer corresponder una figura semejante de cualquiera magnitud o que por todo punto interior de un ángulo es posible trazar una recta que corte ambos lados, resulta imposible invertir este orden y podrá demostrarse la unicidad de la paralela tomando como postulado cualquiera de estas últimas proposiciones.