El método axiomático en la ciencia

Se denomina axiomático al procedimiento mediante el cual trabajan las ciencias formales teniendo en cuenta el aspecto dinámico que involucra la formulación de los axiomas y la justificación de ciertos enunciados que se obtienen a partir de los axiomas mediante procedimientos de transformación.

En sus principios, la formulación axiomática de una teoría deductiva podría parecer que tenía un interés limitado. Entre los matemáticos, gran cantidad de ellos no veían en ella sino poco más que un procedimiento elegante de hacer una exposición, cuyo refinamiento era muy superfluo, casi una especie de juego intelectual apto sólo para satisfacer espíritus en exceso escrupulosos en lo que respecta al rigor lógico, pero que se encontraba al margen del trabajo científico y verdaderamente productivo.

El método axiomático prosigue el análisis de las nociones primeras, obligando a aislar ciertas propiedades enunciadas expresamente en los axiomas y a usar únicamente a ellas o lo que se haya deducido de ellas.

Un progreso en la abstracción va siempre a la par con un progreso en lo general, dejando caer algunas de las determinaciones disociadas por el análisis. La reducción de la comprehensión elimina las restricciones y asegura el ensanchamiento de la extensión.

La indeterminación de una estructura formal no puede considerarse una indigencia desde el momento en que no es una cualquiera, sino que se encuentra regulada por condiciones muy precisas.

La axiomatización de las matemáticas resultaría en extremo difícil medir con precisión la parte que le corresponde al método axiomático en el desarrollo de las matemáticas modernas. Más que de una causalidad bien orientada, indudablemente sería obligado hablar con frecuencia de acciones recurrentes o conjugadas.

La teoría de los grupos, por ejemplo, de la que ha sido posible decir que es la matemática despojada de su sustancia y reducida a su forma pura, nació antes que ella y se desarrolló inicialmente en forma independiente. No obstante, el espíritu en que se inspira está tan de acuerdo con la axiomática, y los problemas son a menudo tan cercanos, que ambos órdenes de investigaciones se encuentran en la actualidad relacionados muy íntimamente.

Sus rasgos característicos ya son reconocidos fácilmente en el pensamiento matemático clásico: abstracción y generalización creciente, rechazo a la intuición que se sustituye con la lógica, subordinación del contenido a la estructura, establecimiento de correspondencias unificadoras, etc. No resulta menos cierto por esto que Hilbert, al haber enseñado a los matemáticos a “pensar axiomáticamente” haya modificado profundamente el “estilo matemático”, precisamente donde el método axiomático no se emplea en forma sistemática. Pero éste lo es cada vez más.

Toda teoría matemática, desde la aritmética y la teoría de los conjuntos hasta el cálculo de probabilidades, ha sido ya axiomatizada y, con frecuencia, en formas múltiples.

Esta notoria dificultad ilustra sorprendentemente lo que tiene de incómoda y transitoria la fase de la deducción concreta, en la cual se debe y no se puede justificar los principios.

 Las cosas quedaban claras en la fase empírica e inductiva. Al dejarnos guiar por nuestro sentimiento intuitivo de las probabilidades podríamos ver, por ejemplo, que no existe razón alguna para que caiga águila o sol. Y después llegamos a establecer las dos leyes, que la experiencia verificará, de las probabilidades totales y de las probabilidades compuestas. Y esto volverá a resultar claro en la fase axiomática, la de la deducción abstracta: ambas leyes quedarán establecidas ahora como principios.

El sistema axiomático no se aplicó exclusivamente a las matemáticas sino que se desbordó por todos lados, no constituirá sorpresa alguna que un método cuyo propósito es suplantar la intuición por la lógica haya encontrado su campo d elección en la misma lógica.

Esta ciencia hace en la actualidad un empleo sistemático y regular de ella y, al contrario, su uso va disminuyendo a medida que se desciende en la escala de las ciencias, cuando se pasa de la mecánica a otras partes de la física y, de allí, a las ciencias de la naturaleza. Podría decirse que no ha excedido aún el dominio de la física.

La axiomática consiste en el perfeccionamiento de la teoría deductiva, lo cual también significa que toda puesta en forma deductiva encamina ya por la ruta de la axiomática.

La costumbre de duplicar el lenguaje mediante el simbolismo matemático ha acostumbrado a los físicos desde hace mucho tiempo a distinguir no entre teorías con imágenes y teorías abstractas, como entre dos aspectos, uno concreto y otro simbólico de la misma teoría. Pero de acuerdo con la comparación de Poincaré, las imágenes no son sino vestiduras sometidas al capricho de la moda, en tanto que la verdadera teoría, la que permanece, es el sistema de ecuaciones, esto es, de relaciones.