Las axiomáticas formalizadas

Formalizar quiere decir escribir una expresión de una manera estándar que todos entiendan.
El lenguaje lógico se denomina formalizado porque su propiedad más importante es la de revelar la formula o estructura de las proposiciones e inferencias.

El lenguaje formalizado de la lógica de proposiciones consta de dos clases de signos variables proporcionales y constantes u operadores o conectores lógicos. Las variables proporcionales representan cualquier proposición atómica. Son letras minúsculas del alfabeto. Las meta variables representan cualquier fórmula o proposición compuesta son letras mayúsculas del alfabeto.

Se piensa que resultaría prácticamente imposible satisfacer exigencias tan estrictas si se continuara expresándose en el lenguaje habitual, con su falta de precisión y sus numerosas irregularidades.

 Entonces, una demostración no hará un llamado a nuestro sentimiento espontáneo de la evidencia de determinados encadenamientos lógicos, sino que se ocupará de transformar, en grados sucesivos y sin saltar ninguna etapa, una o varias fórmulas escritas con anterioridad como axiomas o teoremas, haciendo mención, en el caso de cada una de estas transformaciones elementales, del número de la regla que la autoriza hasta que se llegue finalmente, línea tras línea, a la fórmula que se busca.

 Debido a un cambio brusco de actitud, comparable al que afecta la conciencia ante una figura ambigua, el pensamiento, en lugar de atravesar los símbolos para apuntar por su intermediario a las cosas simbolizadas, ahora se detiene en los símbolos mismos, dejando para después su posible interpretación y retirándoles por el momento su función de símbolos con el fin de tomarlos como objetos últimos.

El límite de las demostraciones de no-contradicciones, se hace necesaria una condición: cualesquiera que sean la complejidad e inseguridad de la teoría matemática estudiada y de las fórmulas simbólicas en donde se expresa, la demostración metamatemática que descansa sobre esta teoría deberá, bajo pena de caer en un círculo vicioso o de petición de principio, no hacer sino encadenamientos deductivos muy simples y no discutidos, de forma que logren en forma irresistible la adhesión de un espíritu atento. Del mismo modo que la consideración de signos remite a la representación visual, así la demostración sobre estos signos llama a la evidencia intelectual (aunque no sea sino para entender el sentido de las reglas, juzgar si son aplicadas correctamente, etc.). Mas ya sea racional o sensible, un retorno así a la intuición sólo es legítimo cuando no se va más allá del límite de las intuiciones elementales y que nadie o sospeche. Por más reducido que sea entonces el margen de la apreciación subjetiva para juzgar la validez de una teoría, el formalismo intransigente no se considerará aún del todo satisfecho. La primera noción desborda a la segunda porque, como una de las teorías matemáticas más elementales, comporta
Problemas y dificultades análogas a los que conocía la metamatemática se encontraban, al mismo tiempo, en el terreno de la lógica. Por lo demás, ambos órdenes de investigación se encuentran actualmente asociados íntimamente. Cuando aún la axiomática se encontraba en sus comienzos, la condición de la lógica podía parecer, debido a su situación inicial, como privilegiada. Una teoría axiomatizada retiraba su significación y su verdad usuales a los términos y postulados sobre los que se edificaba, más para esta edificación hacía un llamado a teorías anteriores cuya verdad y sentido ya se encontraban presupuestos. Y en el punto de partida de estas teorías previas, anteriores a todas las otras, se encontraba la lógica.

Sin duda se podía afirmar de ésta que se axiomatizaba a sí misma puesto que de allí en adelante se presentaba, desde Frege y en especial en la gran síntesis de Russell y Whitehead, como un sistema deductivo en el que estaban despejados expresamente términos primeros y proposiciones primeras. Sólo que todavía no se daba aquí, si es posible decirlo, sino sólo una axiomática concreta.

 Los términos conservan aquí, más o menos, su acepción usual precisada sólo por las relaciones que enunciaban los postulados. Y éstos eran verdaderos axiomas, a la vez proposiciones primeras y evidencias intelectuales. El sistema tenía un sentido pleno y una verdad absoluta que se propagaban, mediante las definiciones y las demostraciones, a los términos derivados y a los teoremas.