El alcance filosófico de la axiomática.

La constitución y el desarrollo del método axiomático no interesan exclusivamente al trabajo científico sino que se proyectan también sobre problemas filosóficos cuyo alcance va ensanchándose: la filosofía de las matemáticas, la filosofía de las ciencias, la filosofía del conocimiento.

En primer lugar, la axiomática abre una de las vías posibles para resolver el problema que ha dominado, desde principios del siglo XX, toda la filosofía matemática, esto es, las bases mismas de esta ciencia.

Este problema, que hasta entonces prácticamente no había preocupado a los matemáticos, les fue impuesto en forma brusca debido a la crisis que produjo la formulación de la teoría de los conjuntos. Esta fue elaborada por G. Cantor en el último cuarto del siglo XIX. Tras afrontar numerosas resistencias la teoría de los conjuntos apareció definitivamente hacia 1900 como la base de todo el edficio matemático.

La aritmética de los números finitos, mediante la cual se reconstruyeron las demás partes de las matemáticas, podía constituirse a la vez como un caso especial y particularmente simple e intuitivo de la teoría de los conjuntos: el de los conjuntos enumerables. Y, es precisamente en este momento, cuando aparecen al interior de la teoría “antinomias” o “paradojas”, esto es, pares de teoremas contradictorios.

Para una teoría que ha dejado de soportarse en nociones y verdades intuitivas y que en consecuencia carece ya de otra garantía de su validez que la coherencia formal, la menor fisura basta para comprometerla, su lógica tiene la obligación absoluta de ser infalible.

 Desde un principio las investigaciones para encontrar una solución se han comprometido en tres direcciones. El “empirismo” de Borel y Lebesgue, posteriormente prolongado y reforzado por el “intuicionismo” de Brouwer, atribuye las dificultades al manejo ciego del instrumento lógico.

La axiomática ingenua, confiada en el sentimiento de evidencia intelectual para justificar la selección de los axiomas se encontraba en un callejón sn salida. Uno de los objetivos principales de la metamatemática de Hilbert es evitar el callejón sin salida, y salir de él sustituyendo mediante el razonamiento la intuición desfalleciente.

 La formalización de la axiomática requiere que pueda ser establecido, mediante la vía demostrativa y sin necesidad de apelar al sentimiento subjetivo de la evidencia, si un sistema de axiomas es congruente o no. Si esta demostración puede dárnosla favorablemente una axiomática de la teoría de los conjuntos, queda resuelto el problema del fundamento.

Las esperanzas que los “formalistas” pusieron en este método han sido, como se recuerda, frustradas en forma parcial. Especialmente, los teoremas de Gödel mostraron que la nocontradicción de los sistemas de los que se trataba no podía ser probada mediante una formalización que se mantuviera dentro de estos sistemas. Por su lado, la paradoja de Skolem contrapone a la axiomatización de la teoría de los conjuntos una dificultad esencial, pues resulta de ella que el tratamiento axiomático hace desvanecer ahí la distinción de las potencias diversas. Sin embargo, esta última restricción sólo concierne en forma directa a la teoría de los conjuntos y, por otro lado, el marco dentro del cual se encerró Hilbert, voluntariamente, permitía que fuera ensanchado un poco, sin por eso traspasar los límites que se asigna al intuicionismo, de suerte que las prohibiciones de Gödel se atenúan.

 En tales condiciones Gentzen, en 1937, llegó a demostrar la nocontradicción de la teoría de los números apelando exclusivamente a un único principio exterior a la teoría, y mostrando que éste no sobrepasaba los medios que se conceden al intuicionismo. Tal resultado es muy importante ya que la nocontradicción de numerosas teorías tenía su apoyo en la aritmética, que hasta allí había sido simplemente postulada.

 Pese al hecho de que el formalismo axiomático no ha resuelto definitivamente el problema del fundamento de las matemáticas, resulta que tanto para él mismo como para las reacciones que suscitó, lo ha hecho avanzar considerablemente y, por otro lado, ha disminuido en forma notable las presiones sobre las doctrinas que inicialmente se le oponían.

En la actualidad prácticamente se han desvanecido las diferencias que existían entre logicismo y axiomatismo, al punto que ambas tendencias se integran, como puede verse en algunos autores, Quine por ejemplo. La multiplicidad de las lógicas, que son tratadas en delante de acuerdo con los métodos de la axiomática formalizada, prácticamente no permiten ya dar a sus nociones de base un sentido absoluto, y el problema de saber dónde termina la lógica y comienzan las matemáticas ha perdido buena parte de su sentido.

El método axiomático en la ciencia

Se denomina axiomático al procedimiento mediante el cual trabajan las ciencias formales teniendo en cuenta el aspecto dinámico que involucra la formulación de los axiomas y la justificación de ciertos enunciados que se obtienen a partir de los axiomas mediante procedimientos de transformación.

En sus principios, la formulación axiomática de una teoría deductiva podría parecer que tenía un interés limitado. Entre los matemáticos, gran cantidad de ellos no veían en ella sino poco más que un procedimiento elegante de hacer una exposición, cuyo refinamiento era muy superfluo, casi una especie de juego intelectual apto sólo para satisfacer espíritus en exceso escrupulosos en lo que respecta al rigor lógico, pero que se encontraba al margen del trabajo científico y verdaderamente productivo.

El método axiomático prosigue el análisis de las nociones primeras, obligando a aislar ciertas propiedades enunciadas expresamente en los axiomas y a usar únicamente a ellas o lo que se haya deducido de ellas.

Un progreso en la abstracción va siempre a la par con un progreso en lo general, dejando caer algunas de las determinaciones disociadas por el análisis. La reducción de la comprehensión elimina las restricciones y asegura el ensanchamiento de la extensión.

La indeterminación de una estructura formal no puede considerarse una indigencia desde el momento en que no es una cualquiera, sino que se encuentra regulada por condiciones muy precisas.

La axiomatización de las matemáticas resultaría en extremo difícil medir con precisión la parte que le corresponde al método axiomático en el desarrollo de las matemáticas modernas. Más que de una causalidad bien orientada, indudablemente sería obligado hablar con frecuencia de acciones recurrentes o conjugadas.

La teoría de los grupos, por ejemplo, de la que ha sido posible decir que es la matemática despojada de su sustancia y reducida a su forma pura, nació antes que ella y se desarrolló inicialmente en forma independiente. No obstante, el espíritu en que se inspira está tan de acuerdo con la axiomática, y los problemas son a menudo tan cercanos, que ambos órdenes de investigaciones se encuentran en la actualidad relacionados muy íntimamente.

Sus rasgos característicos ya son reconocidos fácilmente en el pensamiento matemático clásico: abstracción y generalización creciente, rechazo a la intuición que se sustituye con la lógica, subordinación del contenido a la estructura, establecimiento de correspondencias unificadoras, etc. No resulta menos cierto por esto que Hilbert, al haber enseñado a los matemáticos a “pensar axiomáticamente” haya modificado profundamente el “estilo matemático”, precisamente donde el método axiomático no se emplea en forma sistemática. Pero éste lo es cada vez más.

Toda teoría matemática, desde la aritmética y la teoría de los conjuntos hasta el cálculo de probabilidades, ha sido ya axiomatizada y, con frecuencia, en formas múltiples.

Esta notoria dificultad ilustra sorprendentemente lo que tiene de incómoda y transitoria la fase de la deducción concreta, en la cual se debe y no se puede justificar los principios.

 Las cosas quedaban claras en la fase empírica e inductiva. Al dejarnos guiar por nuestro sentimiento intuitivo de las probabilidades podríamos ver, por ejemplo, que no existe razón alguna para que caiga águila o sol. Y después llegamos a establecer las dos leyes, que la experiencia verificará, de las probabilidades totales y de las probabilidades compuestas. Y esto volverá a resultar claro en la fase axiomática, la de la deducción abstracta: ambas leyes quedarán establecidas ahora como principios.

El sistema axiomático no se aplicó exclusivamente a las matemáticas sino que se desbordó por todos lados, no constituirá sorpresa alguna que un método cuyo propósito es suplantar la intuición por la lógica haya encontrado su campo d elección en la misma lógica.

Esta ciencia hace en la actualidad un empleo sistemático y regular de ella y, al contrario, su uso va disminuyendo a medida que se desciende en la escala de las ciencias, cuando se pasa de la mecánica a otras partes de la física y, de allí, a las ciencias de la naturaleza. Podría decirse que no ha excedido aún el dominio de la física.

La axiomática consiste en el perfeccionamiento de la teoría deductiva, lo cual también significa que toda puesta en forma deductiva encamina ya por la ruta de la axiomática.

La costumbre de duplicar el lenguaje mediante el simbolismo matemático ha acostumbrado a los físicos desde hace mucho tiempo a distinguir no entre teorías con imágenes y teorías abstractas, como entre dos aspectos, uno concreto y otro simbólico de la misma teoría. Pero de acuerdo con la comparación de Poincaré, las imágenes no son sino vestiduras sometidas al capricho de la moda, en tanto que la verdadera teoría, la que permanece, es el sistema de ecuaciones, esto es, de relaciones.

Las axiomáticas formalizadas

Formalizar quiere decir escribir una expresión de una manera estándar que todos entiendan.
El lenguaje lógico se denomina formalizado porque su propiedad más importante es la de revelar la formula o estructura de las proposiciones e inferencias.

El lenguaje formalizado de la lógica de proposiciones consta de dos clases de signos variables proporcionales y constantes u operadores o conectores lógicos. Las variables proporcionales representan cualquier proposición atómica. Son letras minúsculas del alfabeto. Las meta variables representan cualquier fórmula o proposición compuesta son letras mayúsculas del alfabeto.

Se piensa que resultaría prácticamente imposible satisfacer exigencias tan estrictas si se continuara expresándose en el lenguaje habitual, con su falta de precisión y sus numerosas irregularidades.

 Entonces, una demostración no hará un llamado a nuestro sentimiento espontáneo de la evidencia de determinados encadenamientos lógicos, sino que se ocupará de transformar, en grados sucesivos y sin saltar ninguna etapa, una o varias fórmulas escritas con anterioridad como axiomas o teoremas, haciendo mención, en el caso de cada una de estas transformaciones elementales, del número de la regla que la autoriza hasta que se llegue finalmente, línea tras línea, a la fórmula que se busca.

 Debido a un cambio brusco de actitud, comparable al que afecta la conciencia ante una figura ambigua, el pensamiento, en lugar de atravesar los símbolos para apuntar por su intermediario a las cosas simbolizadas, ahora se detiene en los símbolos mismos, dejando para después su posible interpretación y retirándoles por el momento su función de símbolos con el fin de tomarlos como objetos últimos.

El límite de las demostraciones de no-contradicciones, se hace necesaria una condición: cualesquiera que sean la complejidad e inseguridad de la teoría matemática estudiada y de las fórmulas simbólicas en donde se expresa, la demostración metamatemática que descansa sobre esta teoría deberá, bajo pena de caer en un círculo vicioso o de petición de principio, no hacer sino encadenamientos deductivos muy simples y no discutidos, de forma que logren en forma irresistible la adhesión de un espíritu atento. Del mismo modo que la consideración de signos remite a la representación visual, así la demostración sobre estos signos llama a la evidencia intelectual (aunque no sea sino para entender el sentido de las reglas, juzgar si son aplicadas correctamente, etc.). Mas ya sea racional o sensible, un retorno así a la intuición sólo es legítimo cuando no se va más allá del límite de las intuiciones elementales y que nadie o sospeche. Por más reducido que sea entonces el margen de la apreciación subjetiva para juzgar la validez de una teoría, el formalismo intransigente no se considerará aún del todo satisfecho. La primera noción desborda a la segunda porque, como una de las teorías matemáticas más elementales, comporta
Problemas y dificultades análogas a los que conocía la metamatemática se encontraban, al mismo tiempo, en el terreno de la lógica. Por lo demás, ambos órdenes de investigación se encuentran actualmente asociados íntimamente. Cuando aún la axiomática se encontraba en sus comienzos, la condición de la lógica podía parecer, debido a su situación inicial, como privilegiada. Una teoría axiomatizada retiraba su significación y su verdad usuales a los términos y postulados sobre los que se edificaba, más para esta edificación hacía un llamado a teorías anteriores cuya verdad y sentido ya se encontraban presupuestos. Y en el punto de partida de estas teorías previas, anteriores a todas las otras, se encontraba la lógica.

Sin duda se podía afirmar de ésta que se axiomatizaba a sí misma puesto que de allí en adelante se presentaba, desde Frege y en especial en la gran síntesis de Russell y Whitehead, como un sistema deductivo en el que estaban despejados expresamente términos primeros y proposiciones primeras. Sólo que todavía no se daba aquí, si es posible decirlo, sino sólo una axiomática concreta.

 Los términos conservan aquí, más o menos, su acepción usual precisada sólo por las relaciones que enunciaban los postulados. Y éstos eran verdaderos axiomas, a la vez proposiciones primeras y evidencias intelectuales. El sistema tenía un sentido pleno y una verdad absoluta que se propagaban, mediante las definiciones y las demostraciones, a los términos derivados y a los teoremas.

Las primeras Axiomáticas.

Toda la historia de la geometría es testigo de la tendencia continua a limitar más y más sus alcances y a hacer crecer, en proporción, sus exigencias lógicas. Por citar sólo dos ejemplos famosos, resulta falso que a una línea curva continua siempre se le pudiera trazar una tangente; también puede ser cierto que una línea curva, que no tenga ninguna anchura, pueda cubrir la superficie total de un cuadrado (Peano). Pasch, en 1882, intentó lograr la axiomatización inicial de la geometría. Si bien la solución que ofreció presenta una cantidad considerable de fallas, debidas en buena parte a que el autor mantuvo la misma actitud del empirismo clásico, al menos plantea claramente cuál es el problema: “Resulta necesario para que la geometría logre transformarse en una ciencia deductiva, que el modo de extraer una consecuencia sea, en todas sus partes, independiente de la idea del concepto geométrico. Al hacer una deducción, bien puede resultar conveniente y útil razonar acerca del significado de los conceptos de la geometría más usuales, pero esto de ninguna manera es necesario cuando en la deducción se presenta una laguna y (si no es posible suprimir tal laguna alterando el razonamiento) si las proposiciones que han sido tomadas como medios de prueba resultan insuficientes. Ponemos a continuación las condiciones fundamentales que, para que se le considere verdaderamente rigurosa, debe llenar una exposición deductiva:
1) Que los términos primeros, con los cuales se propone uno definir a todos los otros, sean enunciados claramente.

2) Que las proposiciones primeras, con las cuales se propone uno demostrar todas las otras, sean enunciadas claramente.

3) Que las relaciones que se enuncien entre los términos primeros sean sólo relaciones lógicas y que se mantengan independiente dl sentido concreto que pueda darse a los términos.

4) Que sean sólo estas relaciones las que puedan intervenir en las demostraciones en forma independiente del sentido que tengan los términos (esto prohíbe, particularmente, tomar en préstamo cualquier cosa concerniente a la consideración de las figuras).

Un sistema geométrico, aparte de la lógica, da por supuesto a la aritmética, pues para definir un triángulo es necesario utilizar el tres; asimismo, para demostrar que la suma de sus ángulos es igual a dos rectos, se hace necesario admitir la validez de los teoremas aritméticos relativos a la adición. En forma general, se denominará anteriores a un sistema axiomático a todos los conocimientos del sistema así llamado. Se verá entonces que si una axiomática aparece como un sistema puramente formal, los conocimientos que necesita para constituirse son nociones entendidas en la totalidad de su sentido, así como tesis tomadas en su verdad material. Recurrir a los conocimientos anteriores, especialmente si no se expresa declaradamente, choca con el espíritu de la axiomática, que se impone como deber tratar de explicarlo todo, sin que nada quede presupuesto. Queda claro que esto se puede matizar mediante el recurso de enumerar, al iniciar una axiomática, las ciencias que se presuponen. Tal formalidad no basta en forma alguna para resolver la infinidad de problemas que emergen aquí y cuya determinación resultar fundamental para los posteriores desarrollos de la axiomática.

El aritmético y el lógico numeran sus proposiciones y teoremas, cuentan el número de sus nociones primeras. Y lo que es cierto en el caso de las nociones aritméticas con mayor razón lo es para las nociones lógicas.

Por otro lado, no siempre resulta fácil delimitar con precisión la frontera entre lo que son las nociones propias de una ciencia y las que le resultan anteriores. Podemos leer por ejemplo en un tratado de geometría: “La recta a pasa por el punto A.” La frase pasa por pertenece aparentemente al vocabulario de la geometría; pero cómo es posible evitarla al decir: “El punto A pertenece a la recta a“, y que la pertenencia de un individuo a una clase (si se considera a la línea como una clase de puntos) es una noción lógica, el término pasa por debe en este caso ser incluido entre los términos lógicos. Un poco más allá podemos leer las dos frases: “Si un punto está dado fuera de un plano”, etc., y también: “Si un punto está dado fuera de una superficie esférica“, etc.,

Existe la tendencia creciente a evitarlas de modo que se eviten las equivocaciones. Un término no puede ser indefinible del mismo modo que una proposición no puede ser indemostrable, salvo al interior de un sistema que ha sido estructurado en una forma determinada, y de manera continua pueden constituir el término de una demostración o una definición, siempre que se modifiquen adecuadamente las bases del sistema. Tengamos siempre en cuenta el ejemplo de la geometría euclidiana: no resulta imposible de ninguna forma demostrar en ella el postulado de las paralelas. De este modo, en lugar de demostrar por medio de aquella que la suma de los ángulos de un triángulo es igual a dos rectos o que a toda figura se le puede hacer corresponder una figura semejante de cualquiera magnitud o que por todo punto interior de un ángulo es posible trazar una recta que corte ambos lados, resulta imposible invertir este orden y podrá demostrarse la unicidad de la paralela tomando como postulado cualquiera de estas últimas proposiciones.