TEOREMA DE THALES

 Este teorema , es un caso particular de una propiedad de los puntos cocíclicos y de la aplicación de los ángulos inscritos dentro de una circunferencia.

Demostracion

En la circunferencia de centro O y radio r , los segmentos

OA , OB y OC

son iguales por ser todos radios de la misma circunferencia.

Por lo tanto los triángulos AOB y BOC son isósceles.

La suma de los ángulos del triángulo ABC es:

Dividiendo ambos miembros de la ecuación anterior por dos, se obtiene:

Con la expresión anterior el teorema queda demostrado.

Si las rectas a, b, c son paralelas y cortan a otras dos rectas r y s, entonces los segmentos que determinan en ellas son proporcionales.

o bien Una aplicación inmediata del teorema de Thales es la división de un segmento en partes iguales y también en partes proporcionales a números dados. 1.-DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN PARTES IGUALES. La figura muestra paso a paso el procedimiento para dividir el segmento AB en 5 partes iguales. Desde uno de los extremos (A)  del segmento se traza una semirrecta cualquiera. Y con centro en A se traza una circunferencia de radio arbitrario que corta en 1 a la semirrecta. Se hacen circunferencias de igual radio a la primera hasta completar tantas como número de partes se desea dividir el segmento. Se une el ultimo punto (5) con B, y a continuación se trazan paralelas al segmento anterior por los puntos intermedios. Las intersecciones con el segmento inicial AB determinan la división del segmento buscada. Actualiza si es necesario la página para ver el proceso manteniendo el cursor dentro del cuadro. Mueve los extremos del segmento. Observa que la división es independiente de la semirrecta auxiliar y  del radio de la circunferencia c. 2.-DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN PARTES PROPORCIONALES A SEGMENTOS O A NÚMEROS DADOS. El procedimiento es similar al anterior. Basta con trasladar a la semirrecta la medida de los segmentos. Ejercicio. Divide un segmento de 8,2 cm. en partes proporcionales a 2, 1 y 3. Este Procedimiento geométrico también nos sirve para resolver problemas aritméticos de repartos proporcionales. Ejercicio. Tres amigos de 10, 12 y 15 años deben repartirse 350 €uros en partes proporcionales a sus edades. ¿Cuánto le corresponde a cada uno?