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Historia y Filosofía de las matemáticas

En el pasado las matemáticas eran consideradas como la ciencia de la cantidad, referida a las magnitudes como en la geometría, a los números como en la aritmética, o a la generalización de ambos, como en el álgebra.

Tradicionalmente se ha considerado que la matemática, como ciencia, surgió con el fin de hacer los cálculos en el comercio, para medir la Tierra y para predecir los acontecimientos astronómicos. Estas tres necesidades pueden ser relacionadas en cierta forma a la subdivisión amplia de la matemática en el estudio de la estructura, el espacio y el cambio. Las matemáticas egipcias y babilónicas fueron ampliamente desarrolladas por la matemática helénica, donde se refinaron los métodos (especialmente la introducción del rigor matemático en las demostraciones) y se ampliaron los asuntos propios de esta ciencia.[1] Las matemáticas en el Islam, a su vez, desarrollaron y extendieron las matemáticas conocidas por estas civilizaciones ancestrales. Muchos textos griegos y árabes de matemáticas fueron traducidos al latín, lo que llevó a un posterior desarrollo de las matemáticas en la Edad Media.

Desde tiempos ancestrales hasta la Edad Media, las ráfagas de creatividad matemática fueron seguidas, con frecuencia, por siglos de estancamiento. Pero desde el renacimiento italiano, en el siglo XVI, los nuevos desarrollos matemáticos, interactuando con descubrimientos científicos contemporáneos, fueron creciendo exponencialmente hasta el día de hoy.

Trataremos la evolución de los conceptos e ideas matemáticas siguiendo su desarrollo histórico. En realidad, las matemáticas son tan antiguas como la propia humanidad: en los diseños prehistóricos de cerámica, tejidos y en las pinturas rupestres se pueden encontrar evidencias del sentido geométrico y del interés en figuras geométricas. Los sistemas de cálculo primitivos estaban basados, seguramente, en el uso de los dedos de una o dos manos, lo que resulta evidente por la gran abundancia de sistemas numéricos en los que las bases son los números 5 y 10.

Las matemáticas babilónicas hacen referencia a las matemáticas de la gente de Mesopotamia, el actual Irak, desde los días de los primeros sumerios, hasta el inicio del periodo helenístico. Se llaman matemáticas babilónicas debido al papel central de Babilonia como lugar de estudio, que dejó de existir durante el periodo helenístico. Desde este punto, las matemáticas babilónicas se fundieron con las matemáticas griegas y egipcias para dar lugar a las matemáticas helenísticas. Más tarde, bajo el Imperio árabe, Mesopotamia, especialmente Bagdad, volvió a ser un importante centro de estudio para las matemáticas islámicas.

En contraste con la escasez de fuentes en las matemáticas egipcias, el conocimiento sobre las matemáticas en Babilonia se deriva de más de 400 tablillas de arcilla desveladas desde 1850. Labradas en escritura cuneiforme, las tablillas fueron grabadas mientras la arcilla estaba húmeda y cocidas posteriormente en un horno o secadas al sol. Algunas de ellas parecen ser tareas graduadas.

Las evidencias más tempranas de matemáticas escritas datan de los antiguos sumerios, que constituyeron la civilización primigenia en Mesopotamia. Los sumerios desarrollaron un sistema complejo de metrología desde el 3000 a. C. Desde alrededor del 2500 a. C. en adelante, los sumerios escribieron tablas de multiplicar en tablillas de arcilla y trataron ejercicios geométricos y problemas de división. Las señales más tempranas de los numerales babilónicos también datan de ese periodo.

Egipto

Las matemáticas en el Antiguo Egipto se refieren a las matemáticas escritas en las lenguas egipcias. Desde el periodo helenístico, el griego sustituyó al egipción como el lenguaje escrito de los escolares egipcios y desde ese momento las matemáticas egipcias se fundieron con las griegas y babilónicas para dar lugar a las matemática helénica. El estudio de las matemáticas en Egipto continuó más tarde bajo el imperio árabe como parte de las matemáticas islámicas, cuando el árabe se convirtió en el lenguaje escrito de los escolares egipcios.

El texto matemático más antiguo descubierto es el papiro de Moscú, que data del Imperio Medio de Egipto, hacia el 2000-1800 a. C. Como muchos textos antiguos, consiste en lo que hoy se llaman problemas con palabras o problemas con historia, que tienen la intención aparente de entretener. Se considera que uno de los problemas es de particular importancia porque ofrece un método para encontrar el volumen de un tronco: "Si te dicen: Una pirámide truncada [de base cuadrada] de 6 de altura vertical, por 4 en la base [base inferior] y 2 en lo alto [base superior]. Haces el cuadrado de 4 y resulta 16. Doblas 4 y resulta 8. Haces el cuadrado de 2 y resulta 4. Sumas el 16, el 8 y el 4 y resulta 28. Tomas un tercio de 6 y resulta 2. Tomas 28 dos veces y resulta 56. Mira, es 56. Encontrarás lo correcto."

Una vision panoramica de la cultura matematica China.

En China, el emperador Qin Shi Huang (Shi Huang-ti) ordenó en 212 AC que todos los libros de fuera del estado de Qin fueran quemados. El mandato no fue obedecido por todo el mundo, pero como consecuencia se conoce muy poco acerca de la matemática en la China ancestral.

Desde la Dinastía Zhou, a partir del 1046 AC, el libro de matemáticas más antiguo que sobrevivió a la quema fue el I Ching, que usa trigramas y hexagramas para propósitos filosóficos, matemáticos y místicos. Estos objetos matemáticos están compuestos de líneas enteras o divididas llamadas yin (femenino) y yang (masculino), respectivamente (véase Secuencia del Rey Wen).

La obra más antigua sobre geometría en China viene de canon filosófico mohista, hacia el 330 a. C., recopilado por los acólitos de Mozi (470-390 a.c.). El Mo Jing describió varios aspectos de muchos campos relacionados con la física así como proporcionó una pequeña dosis de matemáticas.

Después de la quema de libros, la dinastía Han (202 a.C - 220 d.C) produjo obras matemáticas que presumiblemente abundaban en trabajos que se habían perdido. La más importante de estas es Las nueve lecciones sobre arte matemático, cuyo título completo apareció hacia el 179 d. C., pero existía anteriormente en parte bajo otros títulos. La obra consiste en 246 problemas en palabras que involucran agricultura, negocios, usos geométricos para establecer las dimensiones de las pagodas, ingeniería, agrimensura y nociones sobre triángulos rectángulos y π. También se usa el Principio de Cavalieri sobre volúmenes más de mil años antes de que el propio Cavalieri lo formulara en Occidente. Se crearon pruebas sobre el Teorema de Pitágoras y una formulación matemática de la eliminación de Gauss-Jordan. Liu Hui hizo un comentario de la obra hacia el siglo III d. C.

En resumen, las obras matemáticas del Han astrónomo e inventor Zhang Heng (78–139 d. C.) contenían una formulación para pi también, la cual difería de los cálculos de Liu Hui. Zhang Heng usó su fórmula de pi para encontrar volúmenes esféricos. Estaban también los trabajos escritos del matemático y teórico de la música Jing Fang (78–37 a. C.); mediante el uso de la coma pitagórica, Jing observó que 53 quintas justas se aproximan a 31 octavas. Esto llevaría más tarde al descubrimiento del temperamento igual que divide a la octava en 53 partes iguales y no volvería a ser calculado con tanta precisión hasta que en el siglo XVII lo hiciese el alemán Nicholas Mercator.

Los chinos también hicieron uso de diagramas combinatorios complejos conocidos como cuadrado mágico y círculo mágico, descritos en tiempos ancestrales y perfeccionados por Yang Hui (1238–1398 d. C.).

Las matemáticas árabes

Debe subrayarse que la cultura científica y matemática bajo dominio musulmán fue desarrollada por intelectuales provenientes de diferentes pueblos: persas, judíos, griegos, cristianos, etc., eso sí escrita en árabe.

Sus fuentes en cuanto al conocimiento griego fueron manuscritos propiamente griegos o versiones sirias y hebreas. Obtuvieron las obras fundamentales de Aristóteles, Apolonio, Arquímedes, Diofanto, Herón y las tradujeron al árabe. Por ejemplo, los Elementos de Euclides fueron obtenidos de los bizantinos alrededor del año 800 y la obra astronómica de Ptolomeo, el Almagesto, a la cual ellos dieron precisamente ese nombre, en el año 827. En realidad se mencionan dos fuentes:

"Los árabes adquirieron el conocimiento de la ciencia griega a partir de dos fuentes. La mayor parte de ella la aprendieron de los griegos del Imperio bizantino, pero también la adquirieron, de segunda mano, de los cristianos nestorianos de habla siríaca de Persia oriental. Los cristianos nestorianos, desde su centro de Jundishapur, tradujeron durante los siglos VI y VII un importante número de obras griegas científicas -sobre todo de lógica y de medicina- al siríaco, que había reemplazado al griego como lengua culta del Asia occidental desde el siglo III. Después de la conquista árabe, Jundishapur continuó siendo durante un tiempo el primer centro científico y médico del Islam, donde cristianos, judíos y otros súbditos de los califas trabajaban en la traducción de textos del siríaco al árabe. Damasco y Bagdad se convirtieron también en centros de este tipo de trabajo, y ya en el siglo IX se hacían en Bagdad traducciones directas del griego al árabe. En el siglo X casi todos los textos de la ciencia griega que luego se conocieron en Occidente estaban traducidos al árabe.'' [Crombie, A.C.: Historia de la ciencia. De San Agustín a Galileo siglos V-XIII, pp. 44-45]

Los árabes introdujeron y mejoraron los símbolos del sistema numérico hindú y la notación posicional. También usaron los irracionales de la misma forma que lo hicieron los hindúes. Esto debe enfatizarse: Omar Khayyam (1048 - 1122) y Nasir-Eddin (1201 - 1274) afirmaron con toda claridad que las razones de magnitudes, conmensurables o inconmensurables, podían ser llamadas números. Resulta interesante, sin embargo, que aunque ellos conocían el uso de los números negativos y sus reglas de operación, introducidas por los hindúes, aún así los rechazaron. Con esto ya tenemos un primer retrato de la cultura islámica. Vamos ahora a entrar en mayor detalle en las matemáticas.

Se mencionan dos tradiciones en la astronomía y las matemáticas en Bagdad. Una con base en las fuentes persas e indias, que subrayaba una aproximación algebraica en las matemáticas, y también presente en las tablas astronómicas, y con una motivación práctica. En esa tradición se coloca al-Khwarizmi. Otra tradición con énfasis en las matemáticas helenísticas, que subrayaba la geometría y los métodos deductivos. Su figura emblemática: Tabit ibn Qurra. Ambas tradiciones se llegarían a fundir, lo que se podrá apreciar en el trabajo de Omar Khayyam y al-Kashi.

Guion del video ¨ecuaciones de primer grado¨.

Guion del video ¨ecuaciones de primer grado¨.

Agrupar la incógnita.

El primer paso será agrupar en un lado del = todos los términos que tengan la incógnita y juntar en el otro todos los términos en los que no aparece. Para hacer esta trasposición los signos que van delante de cada número cambia. Así, el que está sumando en un lado pasa al otro restando y viceversa; y el que está multiplicando en un lado pasa al otro dividiendo, y viceversa.
Ejemplo: 5x-9-104+20x=45-6+5x
Trasposición: 5x+20x-5x=45-6+9+104

Despejar cada lado.

Una vez hecho esto se hacen las operaciones de cada lado. Al final en uno de los lados quedará un número multiplicando a la incógnita, y al otro lado del igual quedará solamente un número.
Resolver: (5+20-5)x=45-6+9+104 / 20x=152

Resolverlo.

Para despejar la incógnita, el número que multiplica a la 'x' pasa al otro lado dividiendo. Siguiendo nuestro ejemplo, x=152/20, por lo que x=7,6.

DIDACTICADE LAS MATEMATICAS

Al hablar de didáctica de las matemáticas nos referimos a la trasmisión de reflexiones, que vienen de la lectura y de la experiencia. A lo que un profesor con vocación se dedica con la didáctica se busca provocar conceptos, demostraciones elementales, con interés, reflexión, intriga o admiración.

Una de las responsabilidades del profesor es proveer de un ambiente y situación adecuada para el logro del aprendizaje, en donde se aprovechen los conocimientos previos, los intereses se eleven.

Para que un docente pueda tener una buena didáctica necesita tener los conocimientos a enseñar; conocer y aplicar las teorías del aprendizaje para poder entender el tipo de razonamiento de los alumnos y atender sus necesidades, para crear algo no solo atractivo, también coherente y de una forma que lo puedan aprender y, las teorías epistemológicas que son referentes  de la evolución del conocimiento.

Siempre debemos recordar buscar situaciones de la vida cotidiana para darle sentido e importancia a los conocimientos que transmitimos a nuestros alumnos. Algunos autores como como Nora Carbane lo llaman "hacer vivir el conocimiento" o que sea producido por los alumnos como una respuesta razonable a una situación familiar para lograr el entendimiento y la fácil captalización, para que sean aplicables a lo largo de toda su vida.

La finalidad principal de la educación es que el alumno desarrolle de manera  equilibrada y armónicamente, diversas dimensiones lo lleven a formarse en lo intelectual, lo humano, lo social y lo profesional, es decir, que logre una formación integral: la cual solo se lograría mediante el desarrollo de sus aptitudes.  Para ello, se debe implicar un desenvolvimiento de su personalidad, tanto desde un plano individual como en cuanto a su integración en la sociedad. Y con esta visión habrá que fomentar no solo el cultivo de sus facultades intelectuales, físicas, éticas, etc., que le confieren su carácter formativo, sino además el desarrollo de otros aspectos de incidencia social, como el lenguaje, el cálculo, etc., que configuran si sentido utilitario. Dos son pues los fines de la educación: formativo y utilitario o instructivo. Habrá que armonizar los dos objetivos: formativo y utilitario, para que al instruir, además se eduque. Pero en todo caso, ante posibles dudas puntuales sobre elección de contenidos, metodología a emplear en una situación concreta u otros distintos factores, entonces deberá guiarnos el objetivo formativo inicial al utilitario. La adquisición de conocimientos o técnicas de resolución es un medio para educar, nunca un fin primordial.

El aprendizaje de las matemáticas presupone la adquisición de un conjunto grande y poderoso de instrumentos para intentar entender la realidad, explicarla y porque no, predecirla. Su conocimiento a nivel elemental es imprescindible incluso para poder desenvolverse en la sociedad actual, y no solamente por su necesidad en las situaciones cotidianas, como el comprar, medir, vender, hacer pagos, aprovechar ofertas, etc., sino también en relación con las noticias económicas y estadísticas que emiten los medios de comunicación, y que es necesario saber interpretar para poseer un conocimiento adecuado de la realidad social.

Por tal motivo las matemáticas representan una valiosa herramienta para poder abordar otras materias, por lo que asume así el carácter como ciencia básica, por medio de esto, conocemos porque el aprendizaje de ella proporciona esquemas mentales idóneos para el trabajo intelectual, y se agrande así nuestra gran responsabilidad como profesores especializados y encargados de la enseñanza de esta gran asignatura.

Didactica de las matemáticas y formación de profesores

El arte de saber explicar y enseñar con un mayor número de recursos para que el alumno entienda y aprenda. Se explica para que el alumno entienda (primer contacto con el conocimiento), se ensaña para que el alumno aprenda (Que asimile, que lo haga suyo).

Propósito: reconocer las didácticas matemáticas, así como las habilidades necesarias para su aplicación en el aula con el fin de apoyar el desarrollo de los ejes temáticos de la asignatura.

La formación matemática y didáctica de los maestros requiere contemplar diversos tipos de conocimientos que están estrechamente relacionados entre sí. El formador de maestros debe dar respuestas a preguntas tales como, qué matemáticas enseñar, cómo enseñar dichas matemáticas, qué conocimientos didácticos precisa el futuro maestro, cómo enseñar tales conocimientos didácticos y qué tipo de conexiones.

 En primer lugar consideramos necesario distinguir en las matemáticas al menos cuatro aspectos esenciales mutuamente imbricados, que deben ser tenidos en cuenta en la organización de su enseñanza:

a) Las matemáticas constituyen una actividad de resolución de situaciones problemáticas de una cierta índole, socialmente compartida; estas situaciones problemáticas se pueden referir al mundo natural y social o bien pueden ser internas a la propia matemática; como respuesta o solución a estos problemas externos o internos surgen y evolucionan progresivamente los objetos matemáticos (conceptos, procedimientos, teorías, ...).

b) Las matemáticas son un lenguaje simbólico en el que se expresan las situaciones  problemas y las soluciones encontradas; como todo lenguaje implica unas reglas de uso que hay que conocer y su aprendizaje ocasiona dificultades similares al aprendizaje de otro lenguaje no materno.

c) Las matemáticas constituyen un sistema conceptual, lógicamente organizado y socialmente compartido; la organización lógica de los conceptos, teoremas y propiedades explican también gran número de las dificultades en el aprendizaje.

d) La búsqueda de relaciones entre los diversos objetos matemáticos pone en juego razonamientos inductivos y plausibles, pero la estructuración de los resultados se realiza de acuerdo con la lógica deductiva.

3. Criterios para la formación matemática y didáctica de maestros

La preparación de los futuros profesores en el área de Didáctica de la  matemática debe centrarse en los conocimientos profesionales sobre la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas del nivel educativo correspondiente. Sin embargo, el estudio de los problemas didácticos no es posible sin un conocimiento suficiente del contenido disciplinar al que se refieren dichos conocimientos didácticos, en nuestro caso los contenidos matemáticos propuestos en los curriculos de primaria (básicamente, sistemas numéricos, geometría elemental, medida y tratamiento de la información). Esto obliga a los futuros maestros a tener que estudiar también matemáticas.

El núcleo básico de la didáctica de las matemáticas sobre contenidos impartidos en los primeros niveles educativos es la construcción del sentido del lenguaje, los conceptos y métodos matemáticos por parte de los niños, mediante su referencia a las situaciones y problemas matemáticos presentes en la vida cotidiana.

El análisis didáctico-matemático de las situaciones y tareas matemáticas de la educación primaria –que debe ser el eje central de la formación del maestro desde el área de la Didáctica de la Matemática- debe partir de la selección y estudio de situaciones-problemas que den sentido a los conceptos y métodos matemáticos propuestos en el currículo.

La formación de maestros en las diversas áreas curriculares no puede ocuparse exclusivamente de la selección de los contenidos, matemática y didáctica. La manera en que tales contenidos se estudian forman parte esencial del proceso formativo.

En este trabajo hemos presentado la formación matemática y didáctica de los futuros maestros como un campo de acción e investigación para la didáctica de las matemáticas, que tiene especial relevancia por la importancia decisiva de la función docente como catalizadora y gestora de los aprendizajes. Cada una de las cuestiones abordadas en este trabajo y los recursos que se proponen están abiertos a su experimentación, evaluación y mejora progresiva. Con dicho fin hemos descartado la publicación y distribución tradicional del Manual ya que ello supondría restricciones para la difusión y actualización como consecuencia de las experiencias que puedan realizarse. El uso de la red Internet y del foro de discusión abierto proporciona posibilidades insospechadas hasta este momento, aunque también plantea nuevos retos para la innovación e investigación en el campo de la educación matemática.

Los contenidos propuestos en el Manual, unido a la metodología de tipo constructiva y heurística sobre la que pensamos se debe basar su desarrollo, requieren un fuerte incremento de los créditos asignados al área de Didáctica de la Matemática en los actuales planes de estudio de las distintas especialidades del magisterio. Nuestra propuesta curricular se redacta, por tanto, con el horizonte del logro de una licenciatura para los estudios, como viene reclamándose desde hace tiempo por diversos autores y colectivos. Mientras se logra ese objetivo cada formador tendrá que tomar decisiones sobre qué aspectos tratar según sus circunstancias institucionales