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Sentido numérico y pensamiento algrebraico

PATRONES Y FORMULAS

Objetivos

Al terminar esta lección, los estudiantes

• Conocerán los fundamentos de sucesiones en matemáticas.
• Conocerán la terminología utilizada en las sucesiones.
• Habrán practicado creando sucesiones mediante la variación del número inicial y las razones aritmética o geométrica.
• Tendrán práctica en determinar los valores iniciales que se deben usar para producir una sucesión deseada.

Estándares

Las actividades y las discusiones de esta lección consultan los siguientes Estándares del CNMM :

Números y Operaciones

Entender el significado de las operaciones y cómo ellas se relacionan entre si.

• Entender el significado y los efectos de las operaciones aritméticas con fracciones, decimales y enteros

Álgebra

Entender patrones, relaciones y funciones.

• Representar, analizar y generalizar diversos patrones con tablas, gráficos, palabras y, cuando sea posible, con reglas simbólicas.
• Identificar funciones como lineales o no lineales y comparar sus propiedades a partir de tablas, gráficos y ecuaciones.

Analizar el cambio en varios contextos

• Usar gráficos para analizar cómo cambian las cantidades en las relaciones lineales.

Enlaces a otros Estándares.

Prerrequisitos para los estudiantes

• Aritmética: Los estudiantes deben ser capaces de:

• Conocer y manejar la aritmética de enteros y fracciones

• Tecnología: Los estudiantes deben ser capaces de:
• Hacer con el ratón del computador operaciones básicas tales como señalar, hacer clic y arrastrar.
• Utilizar navegadores, como Netscape por ejemplo, para experimentar con las actividades.

Preparación del maestro

Los estudiantes necesitarán:

• Acceso a un navegador
• Lápiz y papel
• Copias del material suplementario para las actividades:
• Hoja de trabajo para crear sucesiones

Términos importantes

Esta lección presenta los siguientes términos, a través de discusiones:

• iteración
• recurrencia
• sucesión o secuencia

Bosquejo de la lección

1. Énfasis y revisión

Repase con los estudiantes lo aprendido en lecciones anteriores que es pertinente para este caso, y haga que los estudiantes comiencen a pensar en las palabras e ideas de esta lección:

• Comente y explique la Discusión sobre recurrencia
• Presente unos pocos elementos de una sucesión y pida a los estudiantes determinar los números que siguen. Pregunte a la clase "Si anotamos los números 5, 10, 15, 20.¿cuál será el siguiente?"
• Si un estudiante responde " 25" pídale que explique cómo supo que ese era el siguiente número.
• Pregunte a los estudiantes qué numero se está sumando o por cuál número se está multiplicando para obtener cada nuevo número en la lista. Cerciórese de que los estudiantes entienden que cada número de la sucesión mencionada se obtiene sumando 5 al anterior.
• Haga una pregunta similar para una sucesión como 2, 4, 8, 16, 32. Muestre a los estudiantes cómo cada número se obtiene multiplicando por 2 el anterior.

 

2. Objetivos

Cuente a los estudiantes qué van a hacer y a aprender en la clase de hoy. Dígales algo como:

• Hoy hablaremos de sucesiones. Las listas de números que hemos considerado son sucesiones. Una sucesión es una lista de números en la que cada número depende del anterior. Si sumamos un número fijo para pasar de un elemento al siguiente, decimos que es una sucesión aritmética. Si lo multiplicamos por un número fijo es una sucesión geométrica.
• Usaremos computadores para aprender sobre sucesiones y para crear nuestras propias sucesiones.

 

3. Aportes del maestro

Explique a los estudiantes cómo hacer la tarea. Usted debe mostrar cómo desarrollarla, especialmente si ellos no están familiarizados con el uso de " applets"

• Abra su navegador (pero no deje a los estudiantes abrir el de ellos) en la actividad Sucesiones.
• Muestre a los estudiantes cómo entrar valores para el primer término, la razón geométrica y la distancia aritmética, para obtener una nueva sucesión. Explíqueles que si desean ver una sucesión que sea estrictamente aritmética, ellos pueden ingresar el " 0" en la celda de la razón. De la misma manera si quieren tener una sucesión geométrica, deben ingresar el " 0" en la celda de la diferencia.
• Entregue las Preguntas de exploración sobre sucesiones

 

4. Práctica guiada

Los estudiantes pueden estar preparados para avanzar por sí mismos, o pueden necesitar más instrucción:

• Si su clase parece entender el proceso para hacer esta tarea, pregunte simplemente " ¿Puede alguien decirme qué pasos se necesitan para completar la tarea?" o pregunte "¿Cómo manejo este "applet"?"
• Si su clase tiene dificultades con este proceso, desarrolle otro ejemplo conjuntamente, pero deje que los estudiantes guíen sus acciones.
• También puede decidir que desarrollarán conjuntamente el primer problema de la hoja de trabajo. Deje que los estudiantes den valores para el número inicial, para la razón y para la diferencia. Si las respuestas no son correctas, pídales que discutan qué cambios deben hacer para obtener las respuestas correctas.
• Después de la práctica conjunta, indague si hay más preguntas antes de que la clase desarrolle la hoja de trabajo, individualmente o en grupos.

 

5. Práctica independiente

Deje que los estudiantes trabajen individualmente para completar la tarea, pero permanezca en la clase para ofrecer la ayuda que fuese necesaria. Asegúrese que los estudiantes están en el sitio correcto de la Web.

 

6. Cierre

Es importante cerciorarse de que todos los estudiantes han progresado en la comprensión de los conceptos presentados en la lección. Usted puede hacer esta revisión de varias maneras:

• Reúna la clase y comparta algunos de los resultados que los estudiantes obtuvieron para cada punto de la hoja de trabajo. Los estudiantes pueden, por ejemplo, sorprenderse al encontrar que hay varias maneras de construir una sucesión en la cual todos los elementos terminen en 3.
• Haga que los estudiantes escriban una breve definición de una sucesión y un ejemplo, para asegurarse de que sí han entendido la lección.

Bosquejos alternativos

Esta lección se puede reorganizar de varias maneras

• No pasar la hoja de trabajo sino dictar los problemas a los estudiantes, haciendo que los grupos trabajen en el mismo problema, al mismo tiempo. Los estudiantes deberán anotar sus respuestas.
• Permitir que los estudiantes construyan sus propias sucesiones y hacer que describan por escrito cuáles son sus características.

Seguimiento sugerido

Como las sucesiones y los patrones usualmente se trabajan conjuntamente, usted puede considerar las siguientes lecciones y actividades:

• La siguiente lección, Patrones en fractales , que les enseñará a identificar patrones en fractales.
• Otra lección, Patrones en el triángulo de Pascal , que les ayudará a identificar patrones en dicho triángulo.

Forma espacio y medida

Aplicando el teorema de Pitágoras

Resumen

En este tema se presentara y explorara el Teorema de Pitágoras. Presenta tres actividades que dan a los estudiantes la oportunidad de observar los triángulos, de aprender y de usar el Teorema de Pitágoras y de practicar diferentes maneras de calcular el área de triángulos.

Objetivos

Al terminar esta lección los estudiantes habrán:

• Conocido el Teorema de Pitágoras.
• Usado el Teorema de Pitágoras para encontrar la longitud de los lados de triángulos rectángulos.
• Usado el Teorema de Pitágoras para encontrar áreas de triángulos rectángulos.
• Aplicado el Teorema de Pitágoras para encontrar el perímetro y el área de triángulos situados en una cuadrícula.

Estándares

Las actividades y las discusiones de esta lección siguen los estándares del CNMM .

Geometría

• Describir con exactitud, clasificar y entender relaciones entre diferentes tipos de objetos de dos y de tres dimensiones, utilizando las características que los definen, y desarrollar argumentos matemáticos sobre relaciones geométricas.
• Entender las relaciones entre ángulos, longitud de los lados, perímetros, áreas y volúmenes de objetos semejantes.
• Desarrollar, presentar y analizar argumentos inductivos y deductivos acerca de ideas geométricas y sus relaciones como congruencia, semejanza y relación Pitagórica.

Usar visualización, razonamiento espacial y modelos geométricos para resolver problemas.

• Dibujar objetos geométricos con característica específicas, como la longitud de los lados y las medidas de los ángulos

Mediciones

Aplicar las herramientas, técnicas y fórmulas apropiadas para determinar medidas.

• Seleccionar y aplicar técnicas y herramientas para encontrar en forma precisa longitudes, áreas, volúmenes y medidas de ángulos.

Términos importantes

Esta lección presenta a los estudiantes los siguientes términos a través de las discusiones:

• área
• perímetro
• Teorema de Pitágoras
• ángulo- recto

Actividades

Esta lección enseña el Teorema de Pitágoras, mediante las siguientes actividades:

• Cuadrando el triángulo
• El explorador de Pitágoras
• El explorador de triángulos

Prerrequisitos para los estudiantes

• Aritmética: Los estudiantes deben ser capaces de:
• Sumar, restar y multiplicar.
• Tecnológica: Los estudiantes deben ser capaces de:
• Calcular el cuadrado de números dados, usando calculadora.
• Hacer con el ratón del computador operaciones básicas como señalar, hacer clic y arrastrar.
• Utilizar navegadores, Netscape por ejemplo, para experimentar con las actividades.

Preparación del maestro

Los estudiantes necesitarán:

• Acceso a un navegador.
• Lápiz y papel.
• Copias del material suplementario para las actividades:
• Preguntas de exploración para Cuadrando el triángulo
• Preguntas de exploración para El explorador de Pitágoras
• Hoja de trabajo para acompañar el “applet” El explorador de triángulos

Bosquejo de la lección

1. Énfasis y revisión

Repase con los estudiantes lo aprendido en lecciones anteriores que sea pertinente para este caso, y haga que ellos comiencen a pensar en las palabras e ideas de esta lección:

·         Solicite a los estudiantes que repasen la información sobre triángulos.

·         Muestre a los estudiantes diferentes triángulos rectángulos y escriba el Teorema de Pitágoras en el tablero, identificando los lados del triángulo de acuerdo al teorema.

·         Discuta acerca del significado del área de un triángulo.

2. Objetivos

Indique a los estudiantes qué estudiarán y que aprenderán hoy. Dígales algo como:

·         Hoy hablaremos del Teorema de Pitágoras. Aprenderemos qué significa el teorema y aprenderemos también a calcular la longitud de un lado desconocido en un triángulo rectángulo.

·         Usaremos computadores para aprender sobre el Teorema de Pitágoras, pero por favor no enciendan el computador ni pasen a la página correspondiente hasta cuando yo lo indique. Antes quiero mostrarles algo relacionado con el “applet” Cuadrando el triángulo.

3. Aportes del maestro

Explique a los estudiantes el funcionamiento del “applet” Cuadrado el triángulo . Debe mostrarles cómo usarlo, especialmente si ellos no están familiarizados con el uso de los “applets” de MATEMÁTICA INTERACTIVA.

·         Muéstreles dos o tres triángulos de tamaño diferente y explíqueles cómo los cuadrados construidos sobre los lados ayudan a entender el significado del Teorema de Pitágoras.

·         Si lo estima conveniente, entrégueles las preguntas de exploración sobre Cuadrando el triángulo y respóndalas conjuntamente con los estudiantes.

·         Después abra el buscador en El explorador de Pitágoras para mostrar esta actividad a los estudiantes

·         Elabore uno o dos ejemplos para encontrar la longitud del lado desconocido de un triángulo rectángulo, mediante el Teorema de Pitágoras

4. Practica guiada

Dé a los estudiantes un límite de tiempo o un número especifico de triángulos para que los resuelvan mediante El explorador de Pitágoras .

·         Si su clase parece entender el proceso para hacer esta tarea, pregunte simplemente “¿Puede alguien decirme qué tenemos que hacer ahora?”

·         Si su clase tiene dificultades con este proceso, desarrolle otro ejemplo en conjunto, pero deje que los estudiantes dirijan sus acciones:

·         ¿Puede alguien indicarme cómo encontrar la longitud del lado desconocido de este triángulo?

·         Si lo estima conveniente, puede entregar las Preguntas de exploración del Teorema de Pitágoras y dejar que los estudiantes traten de responderlas.

5. Práctica independiente

• Permita a los estudiantes trabajar independientemente hasta completar la hoja de trabajo, pero permanezca en la clase para ofrecer la ayuda que fuere necesaria y asegúrese de que los estudiantes están en el sitio web correcto.
• Otra opción de práctica independiente es dejar que los estudiantes trabajen en parejas (procurando que ambos tengan habilidades similares). Hágalos que compitan buscando las áreas y longitudes de lados usando el “applet” El explorador de Pitágoras . El que gane obtiene un punto. Al final del tiempo convenido premie al ganador de cada pareja.
• Como un ejercicio final muestre a los estudiantes cómo aplicar el Teorema de Pitágoras en situaciones distintas, usando El explorador de triángulos .
• Muestre varios triángulos usando el nivel medio y el difícil de El explorador de triángulos , y pregúnteles si pueden hallar el área. Si es necesario indíqueles cómo pueden dividir los triángulos en triángulos rectángulos más pequeños.

6. Cierre

Reúna la clase para discutir los resultados. Una vez que los estudiantes hayan compartido sus experiencias, haga un resumen de la lección.

Bosquejos alternativos

Esta lección se puede variar si hay solamente un computador disponible.

• Escriba el Teorema de Pitágoras en el tablero y pida a los estudiantes que saquen una hoja de papel. Usando el “applet” El explorador de Pitágoras , pídales que escriban las medidas de cuatro o cinco triángulos y luego deles un tiempo prudencial para que encuentren la longitud del lado desconocido. Cuando terminen recoja los papeles y revíselos.
• Haga que grupos de dos o tres estudiantes practiquen usando el Teorema de Pitágoras para encontrar las áreas en los niveles medios y difíciles en El explorador de triángulos . Si los estudiantes necesitan ayuda, muéstreles cómo dividir un triángulo en dos triángulos rectángulos, para después de calcular las áreas individuales sumarlas y obtener el área total.

Seguimiento sugerido

Después de esta lección se puede estudiar la siguiente:

• Lección sobre Área de una Superficie y Volumen